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OT1=149590000千米(日地距离);
OA=6371千米(地球半径);
因观测面为在A点与地球表面相切的平面,所以OA垂直于AT1;
根据球面圆心角公式:
cos(WA)cos(WB)cos(JA-JB)+sin(WA)sin(WB)=cos(角AOT1)
=6371/149590000=4.259x10-5
即:cos(WA)cos(WB)cos(JA-JB)+sin(WA)sin(WB)= 4.259x10-5 式1
圆弧线BCE为纬度与B点相同的一条线。假定太阳在一日内在地球表面的直射点的纬度不变,则日落时观测太阳位于T3点,此时AT1与AT3对称于地球上通过A点的经线大圆平面。此时在观测面上(A点的地平面)以A为圆心划圆与T1交于K,与T3交于L。则不难证明此时LK的垂直平分线就是通过A点的地球经线。
实际上,由于地球自转轴倾斜于公转面,在日出日落之间,在阳在地球上的直射点轨迹为BDF。日落时,太阳的实际位置在T2点。黄道的变化以时间为自变量,以一年为周期。为简化分析,我们假定在一个日出至日落的时间段内,太阳直射点的纬度是均匀变化的,其变化率为α(以经度为自变量)。
则WF=α(JF-JB) 式2
根据球面圆心角的计算公式有:
cos(WA)cos(WE)cos(JA-JE)+sin(WA)sin(WE)=cos(角AOT3)
=6371/149590000=4.259x10-5
cos(WA)cos(WE)cos(JA-JE)+sin(WA)sin(WE)= 4.259x10-5 式3
同理:
cos(WA)cos(WF)cos(JA-JF)+sin(WA)sin(WF)= 4.259x10-5 式4
cos(WE)cos(WF)cos(JE-JF)+sin(WE)sin(WE)=cos(角EOF) 式5
给定A点的经纬度、时间(用于确定黄道移动的速率),利于上述公式1,可以计算出B点的经纬度。B点的经纬度出来后,E点的经纬度也可以计算出来。而后利用公式2、4、5 即可以计算出角EOF(角T2OT3)。OT2、OT3为日地距离,那么线段T2T3也可以计算出来。三角形OAT2、OAT3为直角三角形,且OA、OT2、OT3距离已知,那么AT2、AT3也可以计算出来。三角形T2AT3的三边已知,那么角T2AT3的大小也可以计算出来,即角MAL可以计算出来。
不难证明:MK的垂直平分线与通过A点的经线不重合,其偏差为角MAL的一半。
可以通过一定量的数值计算得出角MAL的大小变化范围,其变化范围大致在-0.2度至0.2度之间。在春分、秋分点,其变化最大;在夏至、冬至点,其变化最小,为零。
至此可以得出结论,按古代测量日影的办法,不计测量误差,其实际测出的南北向有时是通过观测点的经线,有时与观测点的经线有一定偏差,其最大偏差为0.1度左右。0.1度的偏差,在实际的风水操作中基本没有什么影响。可以认为,古代《考工记》测量日影定南北的方法,测定的结果是地理子午线。